7.9 非齐次线性系统
在本节 中，我们将转向线性一阶微分方程 的非齐次系统
x ′ = P ( t ) x + g ( t ) \begin{equation*}
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x}+\mathbf{g}(t) \tag{1}
\end{equation*}
x ′ = P ( t ) x + g ( t ) ( 1 )
其中 n × n n \times n n × n 矩阵 P ( t ) \mathbf{P}(t) P ( t ) n × 1 n \times 1 n × 1 向量 g ( t ) \mathbf{g}(t) g ( t ) α < t < β \alpha<t<\beta α < t < β 节 中的论证 相同（另见本节 中的问题 12），方程 (1) 的通解 可以表示为
x = c 1 x ( 1 ) ( t ) + ⋯ + c n x ( n ) ( t ) + v ( t ) \begin{equation*}
\mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+\cdots+c_{n} \mathbf{x}^{(n)}(t)+\mathbf{v}(t) \tag{2}
\end{equation*}
x = c 1 x ( 1 ) ( t ) + ⋯ + c n x ( n ) ( t ) + v ( t ) ( 2 )
其中 c 1 x ( 1 ) ( t ) + ⋯ + c n x ( n ) ( t ) c_{1} \mathbf{x}^{(1)}(t)+\cdots+c_{n} \mathbf{x}^{(n)}(t) c 1 x ( 1 ) ( t ) + ⋯ + c n x ( n ) ( t ) 齐次系统 x ′ = P ( t ) x \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x} x ′ = P ( t ) x 通解 ，而 v ( t ) \mathbf{v}(t) v ( t ) 非齐次系统 (1) 的一个特解 。 我们将简要描述几种确定 v ( t ) \mathbf{v}(t) v ( t ) 方法 。
对角化 。 我们从以下形式的系统 开始
x ′ = A x + g ( t ) \begin{equation*}
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{g}(t) \tag{3}
\end{equation*}
x ′ = Ax + g ( t ) ( 3 )
其中 A \mathbf{A} A n × n n \times n n × n 可对角化的常数矩阵 。 通过如第 7.7 节 中所示，对系数矩阵 A 进行对角化，我们可以将方程 (3) 转换为一个容易求解的方程组 。
设 T \mathbf{T} T 列 为 A \mathbf{A} A 特征向量 ξ ( 1 ) , … , ξ ( n ) \boldsymbol{\xi}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{\xi}^{(n)} ξ ( 1 ) , … , ξ ( n ) 矩阵 ，并定义一个新的因变量 y \mathbf{y} y
x = T y \begin{equation*}
\mathbf{x}=\mathbf{T y} \tag{4}
\end{equation*}
x = Ty ( 4 )
然后，将 x \mathbf{x} x 方程 (3) 中，我们得到
T y ′ = A T y + g ( t ) \mathbf{T} \mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{A} \mathbf{T} \mathbf{y}+\mathbf{g}(t)
T y ′ = ATy + g ( t )
当我们（从左边）将此方程 乘以 T − 1 \mathbf{T}^{-1} T − 1
y ′ = ( T − 1 A T ) y + T − 1 g ( t ) = D y + h ( t ) \begin{equation*}
\mathbf{y}^{\prime}=\left(\mathbf{T}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{T}\right) \mathbf{y}+\mathbf{T}^{-1} \mathbf{g}(t)=\mathbf{D} \mathbf{y}+\mathbf{h}(t) \tag{5}
\end{equation*}
y ′ = ( T − 1 AT ) y + T − 1 g ( t ) = Dy + h ( t ) ( 5 )
其中 h ( t ) = T − 1 g ( t ) \mathbf{h}(t)=\mathbf{T}^{-1} \mathbf{g}(t) h ( t ) = T − 1 g ( t ) D \mathbf{D} D 对角矩阵 ，其对角线元素 是 A \mathbf{A} A 特征值 r 1 , … , r n r_{1}, \ldots, r_{n} r 1 , … , r n 特征向量 ξ ( 1 ) , … , ξ ( n ) \boldsymbol{\xi}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{\xi}^{(n)} ξ ( 1 ) , … , ξ ( n ) T \mathbf{T} T 列 出现的相同顺序 排列。 方程 (5) 是一个关于 y 1 ( t ) , … , y n ( t ) y_{1}(t), \ldots, y_{n}(t) y 1 ( t ) , … , y n ( t ) n n n 非耦合一阶线性微分方程组 ；因此，这些微分方程 可以单独求解。 以标量形式 ，方程 (5) 具有以下形式
y j ′ ( t ) = r j y j ( t ) + h j ( t ) , j = 1 , … , n , \begin{equation*}
y_{j}^{\prime}(t)=r_{j} y_{j}(t)+h_{j}(t), \quad j=1, \ldots, n, \tag{6}
\end{equation*}
y j ′ ( t ) = r j y j ( t ) + h j ( t ) , j = 1 , … , n , ( 6 )
其中 h j ( t ) h_{j}(t) h j ( t ) g 1 ( t ) , … , g n ( t ) g_{1}(t), \ldots, g_{n}(t) g 1 ( t ) , … , g n ( t ) 线性组合 。 方程 (6) 是一个一阶线性微分方程 ，可以使用第 2.1 节 的方法 求解。 事实上，我们有
y j ( t ) = e r j t ∫ t 0 t e − r j s h j ( s ) d s + c j e r j t , j = 1 , … , n \begin{equation*}
y_{j}(t)=e^{r_{j} t} \int_{t_{0}}^{t} e^{-r_{j} s} h_{j}(s) d s+c_{j} e^{r_{j} t}, \quad j=1, \ldots, n \tag{7}
\end{equation*}
y j ( t ) = e r j t ∫ t 0 t e − r j s h j ( s ) d s + c j e r j t , j = 1 , … , n ( 7 )
其中 c j c_{j} c j 常数 。 最后，方程 (3) 的解 x \mathbf{x} x 方程 (4) 获得。 当乘以变换矩阵 T \mathbf{T} T 方程 (7) 右侧的第二项 产生齐次方程 x ′ = A x \mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{A x} x ′ = Ax 通解 ，而方程 (7) 右侧的第一项 产生非齐次系统 (3) 的特解 。
示例 1求系统 的通解
x ′ = ( − 2 1 1 − 2 ) x + ( 2 e − t 3 t ) = A x + g ( t ) (8) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}
-2 & 1 \tag{8}\\
1 & -2
\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{2 e^{-t}}{3 t}=\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{g}(t)
x ′ = ( − 2 1 1 − 2 ) x + ( 3 t 2 e − t ) = Ax + g ( t ) ( 8 )
解 ：按照第 7.5 节 中的步骤 ，我们发现系数矩阵 的特征值 为 r 1 = − 3 r_{1}=-3 r 1 = − 3 r 2 = − 1 r_{2}=-1 r 2 = − 1 特征向量 为
ξ ( 1 ) = ( 1 − 1 ) 和 ξ ( 2 ) = ( 1 1 ) . \begin{equation*}
\boldsymbol{\xi}^{(1)}=\binom{1}{-1} \quad \text { 和 } \quad \xi^{(2)}=\binom{1}{1} . \tag{9}
\end{equation*}
ξ ( 1 ) = ( − 1 1 ) 和 ξ ( 2 ) = ( 1 1 ) . ( 9 )
因此，齐次系统 的通解 为
x = c 1 ( 1 − 1 ) e − 3 t + c 2 ( 1 1 ) e − t . \begin{equation*}
\mathbf{x}=c_{1}\binom{1}{-1} e^{-3 t}+c_{2}\binom{1}{1} e^{-t} . \tag{10}
\end{equation*}
x = c 1 ( − 1 1 ) e − 3 t + c 2 ( 1 1 ) e − t . ( 10 )
在写下特征向量 的矩阵 T \mathbf{T} T T − 1 \mathbf{T}^{-1} T − 1 系数矩阵 A \mathbf{A} A 实对称矩阵 ，所以我们可以使用第 7.7 节 中示例 3 上方声明的结果 ：T − 1 \mathbf{T}^{-1} T − 1 伴随矩阵 ，这里（因为 T \mathbf{T} T T \mathbf{T} T 转置 ，前提是 A \mathbf{A} A 特征向量 被归一化为长度 1，即 ( ξ , ξ ) = 1 (\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi})=1 ( ξ , ξ ) = 1 ξ ( 1 ) \boldsymbol{\xi}^{(1)} ξ ( 1 ) ξ ( 2 ) \boldsymbol{\xi}^{(2)} ξ ( 2 ) 长度 都是 2 \sqrt{2} 2
T = 1 2 ( 1 1 − 1 1 ) , and so T − 1 = 1 2 ( 1 − 1 1 1 ) (11) \mathbf{T}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \tag{11}\\
-1 & 1
\end{array}\right), \quad \text { and so } \quad \mathbf{T}^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right)
T = 2 1 ( 1 − 1 1 1 ) , and so T − 1 = 2 1 ( 1 1 − 1 1 ) ( 11 )
令 x = T y \mathbf{x}=\mathbf{T y} x = Ty 方程 (8) 中代入 x \mathbf{x} x 因变量 y \mathbf{y} y 方程组 ：
y ′ = D y + T − 1 g ( t ) = ( − 3 0 0 − 1 ) y + 1 2 ( 2 e − t − 3 t 2 e − t + 3 t ) . (12) \mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{D} \mathbf{y}+\mathbf{T}^{-1} \mathbf{g}(t)=\left(\begin{array}{rr}
-3 & 0 \tag{12}\\
0 & -1
\end{array}\right) \mathbf{y}+\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{2 e^{-t}-3 t}{2 e^{-t}+3 t} .
y ′ = Dy + T − 1 g ( t ) = ( − 3 0 0 − 1 ) y + 2 1 ( 2 e − t + 3 t 2 e − t − 3 t ) . ( 12 )
因此
y 1 ′ + 3 y 1 = 2 e − t − 3 2 t y 2 ′ + y 2 = 2 e − t + 3 2 t . \begin{align*}
y_{1}^{\prime}+3 y_{1} & =\sqrt{2} e^{-t}-\frac{3}{\sqrt{2}} t \\
y_{2}^{\prime}+y_{2} & =\sqrt{2} e^{-t}+\frac{3}{\sqrt{2}} t . \tag{13}
\end{align*}
y 1 ′ + 3 y 1 y 2 ′ + y 2 = 2 e − t − 2 3 t = 2 e − t + 2 3 t . ( 13 )
方程 (13) 中的每一个都是一阶线性微分方程 ，因此可以通过 2.1 节 的方法 求解。这样，我们得到
y 1 = 2 2 e − t − 3 2 ( t 3 − 1 9 ) + c 1 e − 3 t , y 2 = 2 t e − t + 3 2 ( t − 1 ) + c 2 e − t . \begin{align*}
& y_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} e^{-t}-\frac{3}{\sqrt{2}}\left(\frac{t}{3}-\frac{1}{9}\right)+c_{1} e^{-3 t}, \tag{14}\\
& y_{2}=\sqrt{2} t e^{-t}+\frac{3}{\sqrt{2}}(t-1)+c_{2} e^{-t} .
\end{align*}
y 1 = 2 2 e − t − 2 3 ( 3 t − 9 1 ) + c 1 e − 3 t , y 2 = 2 t e − t + 2 3 ( t − 1 ) + c 2 e − t . ( 14 )
最后，我们用原始变量 表示解 ：
x = T y = 1 2 ( y 1 + y 2 − y 1 + y 2 ) = ( c 1 2 e − 3 t + ( c 2 2 + 1 2 ) e − t + t − 4 3 + t e − t − c 1 2 e − 3 t + ( c 2 2 − 1 2 ) e − t + 2 t − 5 3 + t e − t ) = k 1 ( 1 − 1 ) e − 3 t + k 2 ( 1 1 ) e − t + 1 2 ( 1 − 1 ) e − t + ( 1 1 ) t e − t + ( 1 2 ) t − 1 3 ( 4 5 ) \begin{align*}
\mathbf{x} & =\mathbf{T} \mathbf{y}=\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{y_{1}+y_{2}}{-y_{1}+y_{2}} \\
& =\binom{\frac{c_{1}}{\sqrt{2}} e^{-3 t}+\left(\frac{c_{2}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right) e^{-t}+t-\frac{4}{3}+t e^{-t}}{-\frac{c_{1}}{\sqrt{2}} e^{-3 t}+\left(\frac{c_{2}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\right) e^{-t}+2 t-\frac{5}{3}+t e^{-t}} \\
& =k_{1}\binom{1}{-1} e^{-3 t}+k_{2}\binom{1}{1} e^{-t}+\frac{1}{2}\binom{1}{-1} e^{-t}+\binom{1}{1} t e^{-t}+\binom{1}{2} t-\frac{1}{3}\binom{4}{5} \tag{15}
\end{align*}
x = Ty = 2 1 ( − y 1 + y 2 y 1 + y 2 ) = ( − 2 c 1 e − 3 t + ( 2 c 2 − 2 1 ) e − t + 2 t − 3 5 + t e − t 2 c 1 e − 3 t + ( 2 c 2 + 2 1 ) e − t + t − 3 4 + t e − t ) = k 1 ( − 1 1 ) e − 3 t + k 2 ( 1 1 ) e − t + 2 1 ( − 1 1 ) e − t + ( 1 1 ) t e − t + ( 2 1 ) t − 3 1 ( 5 4 ) ( 15 )
其中 k 1 = c 1 / 2 k_{1}=c_{1} / \sqrt{2} k 1 = c 1 / 2 k 2 = c 2 / 2 k_{2}=c_{2} / \sqrt{2} k 2 = c 2 / 2 方程 (15) 右边的前两项 构成对应于方程 (8) 的齐次系统 的通解 。其余各项 是非齐次系统 的一个特解 。
如果方程 (3) 中的系数矩阵 A \mathbf{A} A 重特征值 和特征向量 的短缺 ），则它仍然可以通过涉及特征向量 和广义特征向量 的适当变换矩阵 T \mathbf{T} T Jordan 标准型 J \mathbf{J} J y 1 , … , y n y_{1}, \ldots, y_{n} y 1 , … , y n 微分方程 不是完全解耦的，因为 J \mathbf{J} J 行 有两个非零元素 ：对角线位置 上的一个特征值 和右边相邻位置 上的一个 1。然而，关于 y 1 , … , y n y_{1}, \ldots, y_{n} y 1 , … , y n 方程 仍然可以从 y n y_{n} y n 关系式 x = T y \mathbf{x}=\mathbf{T y} x = Ty 原始系统 (3) 的解 。
待定系数法 。找到非齐次系统 (1) 的特解 的第二种方法 是我们在 3.5 节 中首次讨论的待定系数法 。要使用这种方法 ，我们假设解 的形式 ，其中一些或所有系数 未指定，然后设法确定这些系数 以满足微分方程 。实际上，这种方法 仅适用于系数矩阵 P \mathbf{P} P 常数矩阵 ，并且如果 g \mathbf{g} g 分量 是多项式函数 、指数函数 或正弦函数 ，或者这些函数 的和 或积 。在这些情况下，可以以简单和系统 的方式 预测解 的正确形式 。选择解 的形式 的过程 与 3.5 节 中给出的单个线性二阶微分方程 的过程 基本相同。主要区别在于形式 为 u e λ t \mathbf{u} e^{\lambda t} u e λ t 非齐次项 的情况，其中 λ \lambda λ 特征方程 的简单根 。在这种情况下，不需要假设形式 为 a t e λ t \mathbf{a} t e^{\lambda t} a t e λ t 解 ，而必须使用 a t e λ t + b e λ t \mathbf{a} t e^{\lambda t}+\mathbf{b} e^{\lambda t} a t e λ t + b e λ t a \mathbf{a} a b \mathbf{b} b 微分方程 来确定。
示例 2使用待定系数法 找到以下方程 的特解
x ′ = ( − 2 1 1 − 2 ) x + ( 2 e − t 3 t ) = A x + g ( t ) (16) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}
-2 & 1 \tag{16}\\
1 & -2
\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{2 e^{-t}}{3 t}=\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{g}(t)
x ′ = ( − 2 1 1 − 2 ) x + ( 3 t 2 e − t ) = Ax + g ( t ) ( 16 )
解：
这是与示例 1 中相同的方程组 。要使用待定系数法 ，我们将 g ( t ) \mathbf{g}(t) g ( t )
g ( t ) = ( 2 0 ) e − t + ( 0 3 ) t \begin{equation*}
\mathbf{g}(t)=\binom{2}{0} e^{-t}+\binom{0}{3} t \tag{17}
\end{equation*}
g ( t ) = ( 0 2 ) e − t + ( 3 0 ) t ( 17 )
观察到 r = − 1 r=-1 r = − 1 系数矩阵 的特征值 ，因此我们必须在假设的解 中同时包含 a t e − t \mathbf{a} t e^{-t} a t e − t b e − t \mathbf{b} e^{-t} b e − t
x = v ( t ) = a t e − t + b e − t + c t + d \begin{equation*}
\mathbf{x}=\mathbf{v}(t)=\mathbf{a} t e^{-t}+\mathbf{b} e^{-t}+\mathbf{c} t+\mathbf{d} \tag{18}
\end{equation*}
x = v ( t ) = a t e − t + b e − t + c t + d ( 18 )
其中 a , b , c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a , b , c d \mathbf{d} d 向量 。将方程 (18) 代入方程 (16) 并整理同类项，我们得到以下关于 a , b , c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a , b , c d \mathbf{d} d 代数方程 ：
A a = − a A b = a − b − ( 2 0 ) , A c = − ( 0 3 ) A d = c \begin{align*}
& \mathbf{A} \mathbf{a}=-\mathbf{a} \\
& \mathbf{A b}=\mathbf{a}-\mathbf{b}-\binom{2}{0}, \\
& \mathbf{A c}=-\binom{0}{3} \tag{19}\\
& \mathbf{A d}=\mathbf{c}
\end{align*}
Aa = − a Ab = a − b − ( 0 2 ) , Ac = − ( 3 0 ) Ad = c ( 19 )
从方程 (19) 的第一个方程 ，我们看到 a \mathbf{a} a A \mathbf{A} A 特征向量 ，对应于特征值 r = − 1 r=-1 r = − 1 a = ( α , α ) T \mathbf{a}=(\alpha, \alpha)^{T} a = ( α , α ) T α \alpha α 常数 。然后我们发现，方程 (19) 的第二个方程 只有在 α = 1 \alpha=1 α = 1
b = k ( 1 1 ) − ( 0 1 ) \begin{equation*}
\mathbf{b}=k\binom{1}{1}-\binom{0}{1} \tag{20}
\end{equation*}
b = k ( 1 1 ) − ( 1 0 ) ( 20 )
对于任何常数 k k k 选择 是 k = 0 k=0 k = 0 b = ( 0 , − 1 ) T \mathbf{b}=(0,-1)^{T} b = ( 0 , − 1 ) T
然后，方程 (19) 的第三个和第四个方程 分别产生 c = ( 1 , 2 ) T \mathbf{c}=(1,2)^{T} c = ( 1 , 2 ) T d = − 1 3 ( 4 , 5 ) T \mathbf{d}=-\frac{1}{3}(4,5)^{T} d = − 3 1 ( 4 , 5 ) T a , b , c \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} a , b , c d \mathbf{d} d 方程 (18) 中，我们得到特解
v ( t ) = ( 1 1 ) t e − t − ( 0 1 ) e − t + ( 1 2 ) t − 1 3 ( 4 5 ) \begin{equation*}
\mathbf{v}(t)=\binom{1}{1} t e^{-t}-\binom{0}{1} e^{-t}+\binom{1}{2} t-\frac{1}{3}\binom{4}{5} \tag{21}
\end{equation*}
v ( t ) = ( 1 1 ) t e − t − ( 1 0 ) e − t + ( 2 1 ) t − 3 1 ( 5 4 ) ( 21 )
特解 (21) 与例 1 中方程 (15) 所包含的特解 不同，因为 e − t e^{-t} e − t 项 不同。但是，如果我们在方程 (20) 中选择 k = 1 2 k=\frac{1}{2} k = 2 1 b = − 1 2 ( 1 , 1 ) T \mathbf{b}=-\frac{1}{2}(1,1)^{T} b = − 2 1 ( 1 , 1 ) T 特解 一致。
参数变分法 。现在让我们转向系数矩阵 不是常数 或不可对角化的更一般的问题 。设
x ′ = P ( t ) x + g ( t ) \begin{equation*}
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x}+\mathbf{g}(t) \tag{22}
\end{equation*}
x ′ = P ( t ) x + g ( t ) ( 22 )
其中 P ( t ) \mathbf{P}(t) P ( t ) g ( t ) \mathbf{g}(t) g ( t ) α < t < β \alpha<t<\beta α < t < β 齐次系统 的基本矩阵 Ψ ( t ) \boldsymbol{\Psi}(t) Ψ ( t )
x ′ = P ( t ) x \begin{equation*}
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{P}(t) \mathbf{x} \tag{23}
\end{equation*}
x ′ = P ( t ) x ( 23 )
我们使用参数变分法 来构造非齐次系统 (22) 的一个特解 ，从而构造出通解 。
由于齐次系统 (23) 的通解 是 Ψ ( t ) c \Psi(t) \mathbf{c} Ψ ( t ) c 向量函数 u ( t ) \mathbf{u}(t) u ( t ) 常数向量 c \mathbf{c} c 非齐次系统 (22) 的解 。因此，我们假设
x = Ψ ( t ) u ( t ) \begin{equation*}
\mathbf{x}=\mathbf{\Psi}(t) \mathbf{u}(t) \tag{24}
\end{equation*}
x = Ψ ( t ) u ( t ) ( 24 )
其中 u ( t ) \mathbf{u}(t) u ( t ) 向量 。对由方程 (24) 给出的 x \mathbf{x} x 方程 (22)，我们得到
Ψ ′ ( t ) u ( t ) + Ψ ( t ) u ′ ( t ) = P ( t ) Ψ ( t ) u ( t ) + g ( t ) \begin{equation*}
\boldsymbol{\Psi}^{\prime}(t) \mathbf{u}(t)+\boldsymbol{\Psi}(t) \mathbf{u}^{\prime}(t)=\mathbf{P}(t) \boldsymbol{\Psi}(t) \mathbf{u}(t)+\mathbf{g}(t) \tag{25}
\end{equation*}
Ψ ′ ( t ) u ( t ) + Ψ ( t ) u ′ ( t ) = P ( t ) Ψ ( t ) u ( t ) + g ( t ) ( 25 )
由于 Ψ ( t ) \boldsymbol{\Psi}(t) Ψ ( t ) 基本矩阵 ，Ψ ′ ( t ) = P ( t ) Ψ ( t ) \Psi^{\prime}(t)=\mathbf{P}(t) \Psi(t) Ψ ′ ( t ) = P ( t ) Ψ ( t ) 方程 (25) 简化为
Ψ ( t ) u ′ ( t ) = g ( t ) \begin{equation*}
\boldsymbol{\Psi}(t) \mathbf{u}^{\prime}(t)=\mathbf{g}(t) \tag{26}
\end{equation*}
Ψ ( t ) u ′ ( t ) = g ( t ) ( 26 )
回想一下，Ψ ( t ) \boldsymbol{\Psi}(t) Ψ ( t ) P \mathbf{P} P 区间 上都是非奇异的。因此，Ψ − 1 ( t ) \boldsymbol{\Psi}^{-1}(t) Ψ − 1 ( t )
u ′ ( t ) = Ψ − 1 ( t ) g ( t ) \begin{equation*}
\mathbf{u}^{\prime}(t)=\boldsymbol{\Psi}^{-1}(t) \mathbf{g}(t) \tag{27}
\end{equation*}
u ′ ( t ) = Ψ − 1 ( t ) g ( t ) ( 27 )
因此，对于 u ( t ) \mathbf{u}(t) u ( t ) 方程 (27) 的向量类 中选择任何向量 。这些向量 仅在任意加性常数向量 的范围内确定；因此，我们将 u ( t ) \mathbf{u}(t) u ( t )
u ( t ) = ∫ Ψ − 1 ( t ) g ( t ) d t + c \begin{equation*}
\mathbf{u}(t)=\int \mathbf{\Psi}^{-1}(t) \mathbf{g}(t) d t+\mathbf{c} \tag{28}
\end{equation*}
u ( t ) = ∫ Ψ − 1 ( t ) g ( t ) d t + c ( 28 )
其中常数向量 c \mathbf{c} c 方程 (28) 中的积分 ，则可以通过将方程 (28) 中的 u ( t ) \mathbf{u}(t) u ( t ) 方程 (24) 中来找到系统 (22) 的通解 。但是，即使无法评估积分 ，我们仍然可以将方程 (22) 的通解 写成如下形式
x = Ψ ( t ) c + Ψ ( t ) ∫ t 1 t Ψ − 1 ( s ) g ( s ) d s \begin{equation*}
\mathbf{x}=\boldsymbol{\Psi}(t) \mathbf{c}+\boldsymbol{\Psi}(t) \int_{t_{1}}^{t} \boldsymbol{\Psi}^{-1}(s) \mathbf{g}(s) d s \tag{29}
\end{equation*}
x = Ψ ( t ) c + Ψ ( t ) ∫ t 1 t Ψ − 1 ( s ) g ( s ) d s ( 29 )
其中 t 1 t_{1} t 1 区间 ( α , β ) (\alpha, \beta) ( α , β ) 点 。方程 (29) 右侧的第一项 是相应齐次系统 (23) 的通解 ，第二项 是方程 (22) 的一个特解 。
现在让我们考虑由微分方程 (22) 和初始条件 组成的初值问题
x ( t 0 ) = x 0 \begin{equation*}
\mathbf{x}\left(t_{0}\right)=\mathbf{x}^{0} \tag{30}
\end{equation*}
x ( t 0 ) = x 0 ( 30 )
我们可以通过选择积分 下限为方程 (29) 中的初始点 t 0 t_{0} t 0 问题 的解 。那么微分方程 的通解 为
x = Ψ ( t ) c + Ψ ( t ) ∫ t 0 t Ψ − 1 ( s ) g ( s ) d s \begin{equation*}
\mathbf{x}=\boldsymbol{\Psi}(t) \mathbf{c}+\boldsymbol{\Psi}(t) \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{\Psi}^{-1}(s) \mathbf{g}(s) d s \tag{31}
\end{equation*}
x = Ψ ( t ) c + Ψ ( t ) ∫ t 0 t Ψ − 1 ( s ) g ( s ) d s ( 31 )
对于 t = t 0 t=t_{0} t = t 0 方程 (31) 中的积分 为零，因此如果选择
c = Ψ − 1 ( t 0 ) x 0 \begin{equation*}
\mathbf{c}=\mathbf{\Psi}^{-1}\left(t_{0}\right) \mathbf{x}^{0} \tag{32}
\end{equation*}
c = Ψ − 1 ( t 0 ) x 0 ( 32 )
则也满足初始条件 (30)。
因此，
x = Ψ ( t ) Ψ − 1 ( t 0 ) x 0 + Ψ ( t ) ∫ t 0 t Ψ − 1 ( s ) g ( s ) d s \begin{equation*}
\mathbf{x}=\boldsymbol{\Psi}(t) \boldsymbol{\Psi}^{-1}\left(t_{0}\right) \mathbf{x}^{0}+\boldsymbol{\Psi}(t) \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{\Psi}^{-1}(s) \mathbf{g}(s) d s \tag{33}
\end{equation*}
x = Ψ ( t ) Ψ − 1 ( t 0 ) x 0 + Ψ ( t ) ∫ t 0 t Ψ − 1 ( s ) g ( s ) d s ( 33 )
是给定初值问题 的解 。同样，尽管使用 Ψ − 1 \Psi^{-1} Ψ − 1 解 (29) 和 (33) 会有所帮助，但在特定情况下，通过行简化求解必要的方程 通常比计算 Ψ − 1 \Psi^{-1} Ψ − 1 方程 (29) 和 (33) 更好。
如果我们使用满足 Φ ( t 0 ) = I \boldsymbol{\Phi}\left(t_{0}\right)=\mathbf{I} Φ ( t 0 ) = I 基本矩阵 Φ ( t ) \boldsymbol{\Phi}(t) Φ ( t ) 解 (33) 具有稍微简单的形式。在这种情况下，我们有
x = Φ ( t ) x 0 + Φ ( t ) ∫ t 0 t Φ − 1 ( s ) g ( s ) d s \begin{equation*}
\mathbf{x}=\boldsymbol{\Phi}(t) \mathbf{x}^{0}+\boldsymbol{\Phi}(t) \int_{t_{0}}^{t} \boldsymbol{\Phi}^{-1}(s) \mathbf{g}(s) d s \tag{34}
\end{equation*}
x = Φ ( t ) x 0 + Φ ( t ) ∫ t 0 t Φ − 1 ( s ) g ( s ) d s ( 34 )
如果系数矩阵 P ( t ) \mathbf{P}(t) P ( t ) 常数矩阵 ，则方程 (34) 可以进一步简化（参见问题 16）。
示例 3
使用参数变分法 来找到系统 的一般解
x ′ = ( − 2 1 1 − 2 ) x + ( 2 e − t 3 t ) = A x + g ( t ) (35) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}
-2 & 1 \tag{35}\\
1 & -2
\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{2 e^{-t}}{3 t}=\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{g}(t)
x ′ = ( − 2 1 1 − 2 ) x + ( 3 t 2 e − t ) = Ax + g ( t ) ( 35 )
这与示例 1 和示例 2 中的方程组 相同。
解：
相应齐次方程组 的通解 在方程 (10) 中给出。因此
Ψ ( t ) = ( e − 3 t e − t − e − 3 t e − t ) (36) \boldsymbol{\Psi}(t)=\left(\begin{array}{rr}
e^{-3 t} & e^{-t} \tag{36}\\
-e^{-3 t} & e^{-t}
\end{array}\right)
Ψ ( t ) = ( e − 3 t − e − 3 t e − t e − t ) ( 36 )
是一个基本矩阵 。那么方程 (35) 的解 x \mathbf{x} x x = Ψ ( t ) u ( t ) \mathbf{x}=\Psi(t) \mathbf{u}(t) x = Ψ ( t ) u ( t ) u ( t ) \mathbf{u}(t) u ( t ) Ψ ( t ) u ′ ( t ) = g ( t ) \boldsymbol{\Psi}(t) \mathbf{u}^{\prime}(t)=\mathbf{g}(t) Ψ ( t ) u ′ ( t ) = g ( t )
( e − 3 t e − t − e − 3 t e − t ) ( u 1 ′ u 2 ′ ) = ( 2 e − t 3 t ) . (37) \left(\begin{array}{rr}
e^{-3 t} & e^{-t} \tag{37}\\
-e^{-3 t} & e^{-t}
\end{array}\right)\binom{u_{1}^{\prime}}{u_{2}^{\prime}}=\binom{2 e^{-t}}{3 t} .
( e − 3 t − e − 3 t e − t e − t ) ( u 2 ′ u 1 ′ ) = ( 3 t 2 e − t ) . ( 37 )
通过行 简化求解方程 (37)，我们得到
u 1 ′ = e 2 t − 3 2 t e 3 t , u 2 ′ = 1 + 3 2 t e t . \begin{aligned}
& u_{1}^{\prime}=e^{2 t}-\frac{3}{2} t e^{3 t}, \\
& u_{2}^{\prime}=1+\frac{3}{2} t e^{t} .
\end{aligned}
u 1 ′ = e 2 t − 2 3 t e 3 t , u 2 ′ = 1 + 2 3 t e t .
因此
u 1 ( t ) = 1 2 e 2 t − 1 2 t e 3 t + 1 6 e 3 t + c 1 , u 2 ( t ) = t + 3 2 t e t − 3 2 e t + c 2 , \begin{aligned}
& u_{1}(t)=\frac{1}{2} e^{2 t}-\frac{1}{2} t e^{3 t}+\frac{1}{6} e^{3 t}+c_{1}, \\
& u_{2}(t)=t+\frac{3}{2} t e^{t}-\frac{3}{2} e^{t}+c_{2},
\end{aligned}
u 1 ( t ) = 2 1 e 2 t − 2 1 t e 3 t + 6 1 e 3 t + c 1 , u 2 ( t ) = t + 2 3 t e t − 2 3 e t + c 2 ,
并且
x = Ψ ( t ) u ( t ) = c 1 ( 1 − 1 ) e − 3 t + c 2 ( 1 1 ) e − t + 1 2 ( 1 − 1 ) e − t + ( 1 1 ) t e − t + ( 1 2 ) t − 1 3 ( 4 5 ) , \begin{align*}
\mathbf{x} & =\boldsymbol{\Psi}(t) \mathbf{u}(t) \\
& =c_{1}\binom{1}{-1} e^{-3 t}+c_{2}\binom{1}{1} e^{-t}+\frac{1}{2}\binom{1}{-1} e^{-t}+\binom{1}{1} t e^{-t}+\binom{1}{2} t-\frac{1}{3}\binom{4}{5}, \tag{38}
\end{align*}
x = Ψ ( t ) u ( t ) = c 1 ( − 1 1 ) e − 3 t + c 2 ( 1 1 ) e − t + 2 1 ( − 1 1 ) e − t + ( 1 1 ) t e − t + ( 2 1 ) t − 3 1 ( 5 4 ) , ( 38 )
这与示例 1 中获得的解 相同（与方程 (15) 比较），并且等价于示例 2 中获得的解 （与方程 (21) 比较）。
拉普拉斯变换 。我们在第 6 章 中使用拉普拉斯变换 来求解任意阶线性方程 。它也可以以非常相似的方式 用于求解方程组 。由于变换 是积分 ，因此向量 的变换 是逐分量 计算的。因此，L { x ( t ) } \mathcal{L}\{\mathbf{x}(t)\} L { x ( t )} 向量 ，其分量 是 x ( t ) \mathbf{x}(t) x ( t ) 分量 的变换 ，L { x ′ ( t ) } \mathcal{L}\left\{\mathbf{x}^{\prime}(t)\right\} L { x ′ ( t ) } X ( s ) \mathbf{X}(s) X ( s ) L { x ( t ) } \mathcal{L}\{\mathbf{x}(t)\} L { x ( t )} 定理 6.2.1 扩展到向量 ，我们也有
L { x ′ ( t ) } = s X ( s ) − x ( 0 ) . \begin{equation*}
\mathcal{L}\left\{\mathbf{x}^{\prime}(t)\right\}=s \mathbf{X}(s)-\mathbf{x}(0) . \tag{39}
\end{equation*}
L { x ′ ( t ) } = s X ( s ) − x ( 0 ) . ( 39 )
示例 4
使用拉普拉斯变换 的方法 来求解系统
x ′ = ( − 2 1 1 − 2 ) x + ( 2 e − t 3 t ) = A x + g ( t ) (40) \mathbf{x}^{\prime}=\left(\begin{array}{rr}
-2 & 1 \tag{40}\\
1 & -2
\end{array}\right) \mathbf{x}+\binom{2 e^{-t}}{3 t}=\mathbf{A} \mathbf{x}+\mathbf{g}(t)
x ′ = ( − 2 1 1 − 2 ) x + ( 3 t 2 e − t ) = Ax + g ( t ) ( 40 )
这与示例 1、2 和 3 中的方程组 相同。
解：
我们对方程 (40) 中的每一项 进行拉普拉斯变换 ，得到
s X ( s ) − x ( 0 ) = A X ( s ) + G ( s ) , \begin{equation*}
s \mathbf{X}(s)-\mathbf{x}(0)=\mathbf{A} \mathbf{X}(s)+\mathbf{G}(s), \tag{41}
\end{equation*}
s X ( s ) − x ( 0 ) = AX ( s ) + G ( s ) , ( 41 )
其中 G ( s ) \mathbf{G}(s) G ( s ) g ( t ) \mathbf{g}(t) g ( t ) 变换 。变换 G ( s ) \mathbf{G}(s) G ( s )
G ( s ) = ( 2 s + 1 3 s 2 ) \begin{equation*}
\mathbf{G}(s)=\binom{\frac{2}{s+1}}{\frac{3}{s^{2}}} \tag{42}
\end{equation*}
G ( s ) = ( s 2 3 s + 1 2 ) ( 42 )
要继续，我们需要选择初始向量 x ( 0 ) \mathbf{x}(0) x ( 0 ) x ( 0 ) = 0 \mathbf{x}(0)=\mathbf{0} x ( 0 ) = 0 方程 (41) 变为
( s I − A ) X ( s ) = G ( s ) , \begin{equation*}
(s \mathbf{I}-\mathbf{A}) \mathbf{X}(s)=\mathbf{G}(s), \tag{43}
\end{equation*}
( s I − A ) X ( s ) = G ( s ) , ( 43 )
其中，如常，I \mathbf{I} I 2 × 2 2 \times 2 2 × 2 单位矩阵 。 因此，X ( s ) \mathbf{X}(s) X ( s )
X ( s ) = ( s I − A ) − 1 G ( s ) . \begin{equation*}
\mathbf{X}(s)=(s \mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1} \mathbf{G}(s) . \tag{44}
\end{equation*}
X ( s ) = ( s I − A ) − 1 G ( s ) . ( 44 )
矩阵 ( s I − A ) − 1 (s \mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1} ( s I − A ) − 1 传递矩阵 ，因为它与输入向量 g ( t ) \mathbf{g}(t) g ( t ) 变换 相乘得到输出向量 x ( t ) \mathbf{x}(t) x ( t ) 变换 。 在本例中，我们有
s I − A = ( s + 2 − 1 − 1 s + 2 ) (45) s \mathbf{I}-\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}
s+2 & -1 \tag{45}\\
-1 & s+2
\end{array}\right)
s I − A = ( s + 2 − 1 − 1 s + 2 ) ( 45 )
通过直接计算，我们得到
( s I − A ) − 1 = 1 ( s + 1 ) ( s + 3 ) ( s + 2 1 1 s + 2 ) . (46) (s \mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1}=\frac{1}{(s+1)(s+3)}\left(\begin{array}{cc}
s+2 & 1 \tag{46}\\
1 & s+2
\end{array}\right) .
( s I − A ) − 1 = ( s + 1 ) ( s + 3 ) 1 ( s + 2 1 1 s + 2 ) . ( 46 )
然后，将方程 (42) 和 (46) 代入方程 (44) 并进行所示的乘法运算 ，我们发现
X ( s ) = ( 2 ( s + 2 ) ( s + 1 ) 2 ( s + 3 ) + 3 s 2 ( s + 1 ) ( s + 3 ) 2 ( s + 1 ) 2 ( s + 3 ) + 3 ( s + 2 ) s 2 ( s + 1 ) ( s + 3 ) ) \begin{equation*}
\mathbf{X}(s)=\binom{\frac{2(s+2)}{(s+1)^{2}(s+3)}+\frac{3}{s^{2}(s+1)(s+3)}}{\frac{2}{(s+1)^{2}(s+3)}+\frac{3(s+2)}{s^{2}(s+1)(s+3)}} \tag{47}
\end{equation*}
X ( s ) = ( ( s + 1 ) 2 ( s + 3 ) 2 + s 2 ( s + 1 ) ( s + 3 ) 3 ( s + 2 ) ( s + 1 ) 2 ( s + 3 ) 2 ( s + 2 ) + s 2 ( s + 1 ) ( s + 3 ) 3 ) ( 47 )
最后，我们需要从其变换 X ( s ) \mathbf{X}(s) X ( s ) 解 x ( t ) \mathbf{x}(t) x ( t ) 方程 (47) 中的表达式 展开为部分分式 并使用表 6.2.1，或者（更有效率地）通过使用适当的计算工具 来完成。 在任何情况下，经过一些简化后，结果 是
x ( t ) = ( 2 1 ) e − t − 2 3 ( 1 − 1 ) e − 3 t + ( 1 1 ) t e − t + ( 1 2 ) t − 1 3 ( 4 5 ) \begin{equation*}
\mathbf{x}(t)=\binom{2}{1} e^{-t}-\frac{2}{3}\binom{1}{-1} e^{-3 t}+\binom{1}{1} t e^{-t}+\binom{1}{2} t-\frac{1}{3}\binom{4}{5} \tag{48}
\end{equation*}
x ( t ) = ( 1 2 ) e − t − 3 2 ( − 1 1 ) e − 3 t + ( 1 1 ) t e − t + ( 2 1 ) t − 3 1 ( 5 4 ) ( 48 )
方程 (48) 给出了系统 (40) 满足初始条件 x ( 0 ) = 0 \mathbf{x}(0)=\mathbf{0} x ( 0 ) = 0 特解 。 因此，它与前面三个例子 中获得的特解 略有不同。 为了获得方程 (40) 的通解 ，必须将方程 (48) 中的表达式 添加到对应于方程 (40) 的齐次系统 的一般解 (10) 中。
每种求解非齐次方程 的方法 都有其自身的优点 和缺点 。待定系数法 不需要积分 ，但其适用范围 有限，可能需要求解几组代数方程 。对角化方法 需要找到变换矩阵 的逆矩阵 以及求解一组解耦的一阶线性微分方程 ，然后进行矩阵乘法 。 它的主要优点 是，对于 Hermitian 系数矩阵 ，变换矩阵 的逆矩阵 可以不用计算直接写出来 - 这一特性 对于大型系统 更为重要。拉普拉斯变换法 涉及矩阵求逆 以找到传递矩阵 ，然后进行乘法运算 ，最后确定所得表达式 中每个项 的反变换 。 它在涉及不连续或脉冲项 的强制函数 的问题 中特别有用。参数变分法 是最通用的方法 。 另一方面，它涉及求解一组具有可变系数 的线性代数方程 ，然后进行积分 和矩阵乘法 ，因此从计算 的角度 来看，它也可能是最复杂的。 对于许多具有常数系数 的小型系统 ，例如本节示例 中的系统 ，所有这些方法 都适用，并且可能没有太多理由 选择一种方法 而不是另一种方法 。